Model ARMAX

Model ARMAX (ang. AutoRegressive Moving Average with eXogenous input, model autoregresywny ze średnią ruchomą i zewnętrznym wejściem) – w automatyce, dyskretny model wejściowo-wyjściowy dla procesów stochastycznych. Model ten jest wyrażony wzorem:

$y(i)=z^{-k}{\frac {B(z^{-1})}{A(z^{-1})}}\,u(i)+{\frac {C(z^{-1})}{A(z^{-1})}}\,e(i).$

Znaczenie poszczególnych symboli w powyższym wzorze jest następujące:

• $y(i),$ $u(i)$ oraz $e(i)$ – dyskretne ciągi wartości, a zatem ciągi wartości równo odległych w czasie (na przykład 0; 0,5; 1; 0; −0.5; ... itd.),
• $y(i)$ – ciąg wartości sygnału wyjściowego – w skrócie ciąg wyjściowy lub wyjście,
• $u(i)$ – ciąg wartości sygnału wejściowego – w skrócie ciąg wejściowy, wejście albo pobudzenie,
• $z^{-k}$ – opóźnienie (przesunięcie wstecz) sygnału o $k$ wartości, tak że $z^{-k}u(i)=u(i-k);$ parametr $k$ jest zwany (dyskretnym) czasem opóźnienia i przybiera wartości całkowite większe lub równe 1,
• $A(z^{-1}),\ B(z^{-1})$ i $C(z^{-1})$ – wielomiany różnicowe (patrz poniżej),
• człon $z^{-k}{\frac {B(z^{-1})}{A(z^{-1})}}u(i)$ – tor sterowania,
• $e(i)$ – ciąg wartości dyskretnego białego szumu zakłócającego obiekt (w skrócie szum biały),
• człon ${\frac {C(z^{-1})}{A(z^{-1})}}e(i)$ – tor zakłócenia, modeluje wszelkie niemierzalne zakłócenia stochastyczne działające w obiekcie w postaci białego szumu przefiltrowanego (czyli przepuszczonego) przez odpowiednią transmitancję.

Wielomiany różnicowe występujące w modelu ARMAX dane są wzorami:

$A(z^{-1})=1+a_{1}z^{-1}+a_{2}z^{-2}+\ldots +a_{dA}z^{-dA},$

$B(z^{-1})=b_{0}+b_{1}z^{-1}+b_{2}z^{-2}+\ldots +b_{dB}z^{-dB},$

$C(z^{-1})=c_{0}+c_{1}z^{-1}+c_{2}z^{-2}+\ldots +c_{dC}z^{-dC}.$

Wartości $a_{j},\,b_{j}$ i $c_{j}$ zwane są parametrami wielomianów, a wartości $dA,\,dB$ i $dC$ stopniami wielomianów. O wielomianie $A(z^{-1})$ mówi się, że jest on wielomianem monicznym, co oznacza, że parametr $a_{0}$ tego wielomianu zawsze ma wartość równą 1.

Strukturę modelu ARMAX określają cztery parametry:

$k,dA,dB,dC.$

Inne rodzaje modeli wykorzystywanych w identyfikacji:

• model AR, model ARX, model ARMA, model ARIMA,
• model MA, model MAX.

Zobacz też

• modele parametryczne