Metoda ruchomego reperu

Metoda ruchomego reperu – metoda lokalnego badania podrozmaitości różnych przestrzeni jednorodnych polegająca na związaniu samej podrozmaitości i jej obiektów geometrycznych z jak najogólniej pojętym reperem. Zawiera w sobie proces kanonizacji repera polegający na jednoznacznym dodaniu do każdego punktu podrozmaitości repera w celu otrzymania niezmienników różniczkowych charakteryzujących podrozmaitość z dokładnością do przekształceń zawierającej ją przestrzeni jednorodnej.

W najogólniejszej postaci metodę ruchomego reperu wprowadził Elie Cartan, który podał także wiele jej zastosowań. W geometrii współczesnej metoda ta wymagała uściślenia i zostało to wykonane w ramach teorii wiązek włóknistych.

Metoda ruchomego reperu w teorii wiązek włóknistych

Analityczną podstawę metody ruchomego reperu stanowią niezmiennicze liniowe formy różniczkowe grup Lie i ich równania strukturalne oraz teoria reprezentacji grup Lie (jako grup przekształceń).

Niech ${\mathcal {X}}_{n}$ będzie n-wymiarową przestrzenią jednorodną i ${\mathcal {G}}$ niech będzie działającą z lewej strony r-wymiarową grupą Lie odwzorowań tej przestrzeni. Niech ${\mathcal {X}}_{n}={\mathcal {G}}/{\mathcal {H}},$ gdzie ${\mathcal {H}}$ jest grupą izotopii pewnego punktu $x_{0}\in {\mathcal {X}}_{n}.$ Niech $(e_{k},e_{\alpha }),k=1,2,\dots ,n,\alpha =n+1,\dots ,r$ będzie taką bazą lewoniezmienniczych pól wektorowych na ${\mathcal {G}},$ że $e_{\alpha }$ stanowią na podgrupie Lie ${\mathcal {H}}$ bazę lewoniezmienniczych pól wektorowych. Bazie $(e_{k},e_{\alpha })$ odpowiada baza lewoniezmienniczych liniowych form różniczkowych $(\omega ^{k},\omega ^{\alpha })$ na grupie Lie ${\mathcal {G}}.$ Kanoniczne rzutowanie $\pi :{\mathcal {G}}\to {\mathcal {X}}_{n},$ w którym każdemu punktowi $x_{0}\in {\mathcal {X}}_{n}$ odpowiadają lewe warstwy $\pi ^{-1}(x)={\mathcal {H}}_{x}\subset {\mathcal {G}}$ względem podgrupy ${\mathcal {H}}={\mathcal {H}}_{x_{0}}$ wprowadza do grupy ${\mathcal {G}}$ strukturę wiązki włóknistej z bazą ${\mathcal {X}}_{n}$ i grupą strukturalną ${\mathcal {H}}$ o wymiarze $r-n.$ Pola wektorowe $e_{\alpha }$ stanowią bazę fundamentalnych pól wektorowych wiązki $\pi :{\mathcal {G}}\to {\mathcal {X}}_{n},$ a liniowe formy różniczkowe $\omega ^{k}$ są jej formami półbazowymi i tworzą całkowalny podukład form w układzie $(\omega ^{k},\omega ^{\alpha }).$ Warstwy ${\mathcal {H}}_{x}\subset {\mathcal {G}}$ są rozmaitościami całkowymi maksymalnego wymiaru dla układu równań Pfaffa $\omega ^{k}=0$.

Zobacz też

• reper