Całka splotowa

Całka splotowa – obok transmitancji operatorowej, jedna z postaci opisu typu wejście-wyjście mająca cechę jednoznaczności dla danego układu regulacji (członu, elementu).

Wstęp

Opis układu sterowania całką splotową wynika z właściwości przekształcenia Laplace’a. Tak zwany iloczyn splotowy, czyli całka splotowa

$y(t)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }u(\tau )g(t-\tau )\,d\tau =\int \limits _{-\infty }^{\infty }g(\tau )u(t-\tau )\,d\tau$

jest w dziedzinie czasu odpowiednikiem iloczynu transformat:

$U(s)G(s)=Y(s)$

Zmienna $\tau$ jest zmienną całkowania. Podobnie jak w przypadku opisu w wykorzystaniem transmitancji wymagane jest przeprowadzenie pewnej operacji nad funkcją $g(t),$ która charakteryzuje układ i funkcją $u(t),$ która reprezentuje wymuszenie; operacja ta ma miejsce całkowicie w dziedzinie czasu.

W praktyce całkę splotową oblicza się w granicach skończonych, gdyż wymuszenie $u(t)$ ma sens tylko dla $t\geqslant 0,$ zaś przy $u(t)=0$ dla $t<0$ także charakterystyka impulsowa $g(t)$ jest równa $0$ dla $t<0,$ jeśli system jest przyczynowy (tzn. nie wykazuje reakcji nim nie nastąpi jego pobudzenie).

Tak więc $u(\tau )=0$ dla $\tau <0$ oraz $g(t-\tau )=0$ dla $\tau >t,$ a stąd praktyczne granice całkowania:

$y(t)=\int \limits _{0}^{t}u(\tau )g(t-\tau )\,d\tau =\int \limits _{0}^{t}g(\tau )u(t-\tau )\,d\tau .$

Zestawienie opisów układu w różnych przypadkach

Istnieją ogólne zewnętrzne opisy układów regulacji. W przypadkach układów niestacjonarnych opis jest znany jako opis za pomocą splotu. Niech: $y$ będzie wyjściem układu, $h$ – odpowiedzią układu, $x$ – wejściem układu, wówczas:

Opis ogólny
układ stacjonarny, nieprzyczynowy	$y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }h(t-r)x(r)\,dr$
układ stacjonarny, przyczynowy	$y(t)=\int _{0}^{t}h(t-r)x(r)\,dr$
układ niestacjonarny, nieprzyczynowy	$y(t)=\int _{-\infty }^{\infty }h(t,r)x(r)\,dr$
układ niestacjonarny, przyczynowy	$y(t)=\int _{0}^{t}h(t,r)x(r)\,dr$

Uogólnienie na układy wielowymiarowe

Dla układu wielowymiarowego opisanego równaniami stanu, w których $t_{0}=\mathbf {C} ,$ a równanie wyjścia dane jest następująco: $\mathbf {y} (t)=\mathbf {C} \mathbf {x} (t)$ odpowiedź na wymuszenie dane jest wzorem:

$\mathbf {y} _{\delta }(t)=\int _{0}^{t}{\mathbf {K} (t-\tau )\mathbf {u} (\tau )\,d\tau },$

gdzie macierz odpowiedzi impulsowych

$\mathbf {K} (t)=\mathbf {C} e^{\mathbf {A} t}\mathbf {B} .$

Powyższy wzór na wymuszenie układu wielowymiarowego stanowi uogólnienie całki splotowej i może też być zapisany jako:

$\mathbf {y} =\mathbf {K} \mathbf {u} .$

Zobacz też

• splot (analiza matematyczna)