Przestrzeń Johnsona-Lindenstraussa – pierwszy przykład przestrzeni Banacha, która nie jest WCG, ale jej przestrzeń sprzężona jest WCG. Nazwa przestrzeni pochodzi od nazwisk W.B. Johnsona i J. Lindenstrussa, którzy podali jej konstrukcję w 1974[1].
Niech
będzie rodziną mocy continuum złożoną z podzbiorów zbioru liczb naturalnych o tej własności, że dla dowolnych dwóch różnych
część wspólna
jest skończona. Niech
będzie podprzestrzenią liniową przestrzeni
generowaną przez podprzestrzeń c0 oraz rodzinę funkcji charakterystycznych zbiorów z rodziny
Każdy element
przestrzeni
ma zatem jednoznaczne przedstawienie w postaci skończonej sumy
| | ![{\displaystyle x=y+\sum _{k=1}^{n}a_{A_{k}}\mathbf {1} _{A_{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75ead616c1e7129e0a2cd1d201aa130fe9aca87d) |
|
(1) |
dla pewnych
zbiorów
oraz skalarów
Wzór
![{\displaystyle \|x\|_{\mathrm {JL} _{2}}=\max {\big \{}\|x\|_{c_{0}},{\Big (}\sum _{k=1}^{n}|a_{A_{k}}|^{2}{\Big )}^{\tfrac {1}{2}}{\big \}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d70a7de82c5b73ebaeed33abe282e569ec3e7f0c)
określa normę w przestrzeni
Przestrzeń Johnsona-Lindenstraussa
to uzupełnienie przestrzeni unormowanej
Powyższa definicja zależy od wyboru rodziny
jednak niezależenie od doboru
przestrzeń
nie będzie WCG w przeciwieństwie do przestrzeni sprzężonej
Rzeczywiście, przestrzeń
jest (izometryczna z) podprzestrzenią
Niech
będzie dany wzorem (1). Wówczas
![{\displaystyle \|x\|_{\mathrm {JL} _{2}}\geqslant {\Big (}\sum _{k=1}^{n}|a_{A_{k}}|^{2}{\Big )}^{\tfrac {1}{2}}=\|(a_{A})_{A\in {\mathcal {B}}}\|_{\ell _{2}({\mathfrak {c}})}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a7d0a71d1645b7e256be570206e3e8d0773faa0)
Ponieważ każde dwa zbiory
mają skończoną część wspólną, istnieje taki element
o skończonym nośniku (czyli
), że
![{\displaystyle \|z+\sum _{k=1}^{n}a_{A_{k}}\mathbf {1} _{A_{k}}\|=\max _{i\leqslant n}|a_{A_{i}}|,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/919b13ab9249461cb9f10344f7a566b572b50860)
czyli norma ilorazowa klasy abstrakcji
w
wynosi
![{\displaystyle \|[x]\|_{\mathrm {JL} _{2}/c_{0}}=\|(a_{A})_{A\in {\mathcal {B}}}\|_{\ell _{2}({\mathfrak {c}})}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e313e6408afdfb4ef95b2e66af31cd566b19500f)
Przechodząc do elementów w uzupełnieniu
można wywnioskować, że
![{\displaystyle \mathrm {JL} _{2}/c_{0}\cong \ell _{2}({\mathfrak {c}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/182938ee45bb60a6d039eee6097292a25b72e4cb)
Dla każdej liczby naturalnej
funkcjonał
określony wzorem
![{\displaystyle \langle e_{n},x\rangle =x(n)\quad (x\in \mathrm {JL} _{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d987c19de09c3d4a20553522ec12d428bebaabc6)
jest liniowy i ciągły. Ponadto, zbiór
jest liniowo gęsty w
czyli *-słaba topologia w
jest ośrodkowa. Ośrodkowość
w *-słabej topologii wynika również z faktu, że operator inkluzji
jest ciągły oraz operator sprzężony
jest ciągły względem *-słabych topologii[2]. Istotnie,
jest obrazem poprzez
przestrzeni
która jest ośrodkowa w *-słabej topologii (z twierdzenia Goldstine’a wynika, że
jest *-słabo gęste w
z ośrodkowości
wynika ośrodkowość
w *-słabej topologii). W szczególności, każdy zbiór słabo zwarty w
jest ośrodkowy. Oznacza to, że
nie jest WCG, gdyż jest nieośrodkowa ponieważ zawiera nieprzeliczalny zbiór dyskretny (na przykład, rodzina funkcji charakterystycznych zbiorów z rodziny ℬ jest nieprzeliczalnym zbiorem dyskretnym).
Istnieje izomorfizm
| | ![{\displaystyle \mathrm {JL} _{2}^{*}\cong \ell _{1}\oplus \ell _{2}({\mathfrak {c}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11d5d20627a2d7ba422e4cb2f371f1118fdb1b79) |
|
(2) |
Rzeczywiście, niech
![{\displaystyle 0\longrightarrow c_{0}\longrightarrow \mathrm {JL} _{2}\longrightarrow \ell _{2}({\mathfrak {c}})\longrightarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e483525cae418d4bb1fa0d3ef27a87d298147be6)
będzie krótkim ciągiem dokładnym, w którym
jest operatorem inkluzji oraz
jest przektszałceniem ilorazowym na
Ciąg dualny
![{\displaystyle 0\longrightarrow \ell _{2}({\mathfrak {c}})\longrightarrow \mathrm {JL} _{2}^{*}\longrightarrow \ell _{1}\longrightarrow 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d068be3436c0e8955f602373665c320a43984e9a)
jest również dokładny. Ponieważ
jest projektywną przestrzenią Banacha, ciąg ten się rozszczepia, tzn. zachodzi wzór (2). Przestrzeń
jako suma dwóch przestrzeni WCG (przestrzeń ośrodkowej i przestrzeni refleksywnej), jest WCG.
- J.M.F. Castillo, M. González, Three-Space Problems in Banach Space Theory, Lecture Notes in Math., vol. 1667, Springer, Berlin (1997).