Algebra centralna prosta

Algebra centralna prosta (algebra Brauera, z ang. również CSA) nad ciałem $K$ – skończeniewymiarowa prosta algebra łączna, której centrum jest $K.$ Innymi słowy, każda algebra prosta jest algebrą centralną prostą nad swoim centrum. Nazwa alternatywna pochodzi od nazwiska Richarda Brauera.

Przykłady

• Liczby zespolone $\mathbb {C}$ tworzą algebrę centralną prostą nad sobą, ale nie nad liczbami rzeczywistymi $\mathbb {R}$ (centrum $\mathbb {C}$ są wszystkie elementy $\mathbb {C} ,$ a nie tylko $\mathbb {R}$).
• Kwaterniony $\mathbb {H}$ są czterowymiarową algebrą centralną prostą nad $\mathbb {R} .$

Pojęcia

Zgodnie z twierdzeniem Artina-Wedderburna algebra prosta $A$ jest izomorfczna z algebrą macierzy $M(n,S)$ dla pewnego pierścienia z dzieleniem $S.$ Dane dwie algebry proste $A\simeq M(n,S)$ oraz $B\simeq M(m,T)$ nad tym samym ciałem $K$ nazywa się podobnymi (równoważnymi w sensie Brauera), jeżeli ich pierścienie z dzieleniem $S$ oraz $T$ są izomorficzne. Zbiór wszystkich klas równoważności algebr centralnych prostych nad ciałem $K,$ ze względu na wspomnianą relację równoważności, może być wyposażony w działanie grupowe dane przez iloczyn tensorowy algebr. Otrzymana grupa nazywana jest grupą Brauera $\operatorname {Br} (K)$ nad ciałem $K.$

Własności

• Każdy automorfizm algebry centralnej prostej jest automorfizmem wewnętrznym (wynika z twierdzenia Skolema-Noether).
• Jeżeli $S$ jest prostą podalgebrą algebry centralnej prostej $A,$ to $\dim _{F}S$ dzieli $\dim _{F}A.$
• Każda czterowymiarowa algebra centralna prosta nad ciałem $K$ jest izomorficzna z algebrą kwaternionów; faktycznie, jest to albo algebra macierzy wymiaru $2\times 2$ albo algebra z dzieleniem.